CHÚ Ý: Dịch vụ in ấn tài liệu + đề cương ôn thi các môn chuyên ngành UFM - Giá sinh viên - Địa chỉ: 51 Tân Mỹ, Phường Tân Thuận Tây, Q7 (Bên cạnh trà sữa Không Gian) - Để in tài liệu giá rẻ hoặc mua tài liệu đề cương vui lòng liên hệ zalo 033.447.3307. CHÂU THÔNG PHAN
Bài giảng Toán rời rạc - Bài 3: Kỷ thuật đếm nâng cao - Nguyễn Văn Hiệu; Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 5: Hàm nhiều biến - Nguyễn Ngọc Lam; Bài giảng Toán rời rạc - Bài 10: Bài toán người du lịch - Nguyễn Văn Hiệu; Giáo trình Giải tích 2 - Tạ Lê Lợi
Bộ môn Khoa học tự nhiên Bài giảng Toán kinh tế Hàng hóa 2: Qs2 = −9 + 6p2; Qd2 = 24 + 6p1 − 8p2 Bài tập 3: Tìm điểm cân bằng của mô hình kinh tế vĩ mô (tìm tổng thu nhập quốc dân cân bằng ¯Y và tiêu dùng cân bằng ¯C) cho như sau: a, C = 300 + 0.75Y , I0 = 300, G0 = 400 b, C = 500 + 0.8Y
Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012. 2. Bộ môn toán cơ bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê. 3. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục. 4.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN TOÁN KHOA CƠ BẢN --------------- … --------------- MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Mathematical Economic Models Giảng viên: Th.s Nguyễn Trung Đông E-Mail: nguyentrungdong144@yahoo.com Bài tập nhóm: Nhóm 7 _ Buổi sáng thứ 7 Mã lớp học phần : 1311101003401 Thành
Video Thời Bao Kinh Tế là nguồn tài liệu, hướng dẫn về vấn đề bạn đọc đang gặp phải và quan tâm tìm câu trả lời phù hợp với của mình
AgRu. Nội dung Text Bài giảng toán kinh tế Phần 1 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG TOÁN KINH TẾ Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2007 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG TOÁN KINH TẾ Biên soạn NGUYỄN QUẢNG TS. NGUYỄN THƯỢNG THÁI LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập môn học Toán kinh tế dành cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông Học viện tổ chức biên soạn tập Sách hướng dẫn học tập Sách HDHT môn học Toán kinh tế theo đúng chương trình đào tạo Cử nhân ngành Quản trị kinh doanh của Học viện. Tập sách được biên soạn trên cơ sở kế thừa, chọn lọc bổ sung tập giáo trình Toán chuyên ngành đã được Nhà xuất bản Bưu điện ấn hành vào tháng 9 năm 2003 và các bài giảng Toán kinh tế đã được sử dụng, giảng dạy cho chương trình đào tạo đại học chính quy ngành Quản trị Kinh doanh tại Học viện. Nội dung tập sách được cấu trúc gồm 7 chương Chương 1. Các kiến thức mở đầu về phương pháp tối ưu Chương 2. Mô hình tối ưu tuyến tính Chương 3. Một số mô hình tối ưu tuyến tính khác Chương 4. Các bài toán tối ưu trên mạng. Chương 5. Phương pháp mô hình hoá và mô hình toán kinh tế. Chương 6. Lý thuyết Phục vụ đám đông Chương 7. Lý thuyết quản lý dự trữ. Để tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên có khả năng tự học, tự nghiên cứu, các tác giả không đi sâu vào các vấn đề lý luận và kỹ thuật toán học phức tạp, mà chỉ tập trung trình bày, giới thiệu những kiến thức cơ bản chủ yếu thiết thực và cập nhật, làm cơ sở cho việc học tập nghiên cứu phân tích kinh tế nói chung và học tập các môn chuyên ngành Quản trị kinh doanh. Ở cuối mỗi chương, sau phần khái quát và tóm tắt các vấn đề cơ bản, chủ yếu của lý thuyết, các tác giả đưa ra các bài tập mẫu và phân tích cách giải để người học có thể tự giải được những bài toán liên quan đến lý luận đã học. Phần bài tập cuối mỗi chương cũng sẽ giúp người học tự nghiên cứu, vận dụng các lý luận đã học vào phân tích, lý giải các nội dung thực tiễn liên quan. Mặc dù các tác giả đã đầu tư nghiên cứu chọn lọc biên soạn nghiêm túc để đáp ứng yêu cầu giảng dạy và học tập của môn học, nhưng chắc tập sách sẽ không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Các tác giả rất mong nhận được sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp, bạn đọc và các bạn sinh viên để lần xuất bản sau được hoàn thiện hơn. CÁC TÁC GIẢ Chương I Một số kiến thức mở đầu CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC Tổng quan về tối ưu hoá. Trong hoạt động thực tiễn, nhất là trong quá trình quản lý, điều khiển hệ thống kinh tế - xã hội, chúng ta luôn mong muốn đạt được kết quả tốt nhất theo các tiêu chuẩn nào đó. Tất cả những mong muốn đó thường là lời giải của những bài toán tối ưu nào đó. Mỗi vấn đề khác nhau của thực tế dẫn đến các bài toán tối ưu khác nhau. Để giải các bài toán đó, một loạt các lý thuyết toán học ra đời để đặt cơ sở lý luận, đề đưa ra các giải pháp tìm lời giải, chứng minh tính hội tụ, tính khả thi của các bài toán thực tế Từ đó hình thành một lớp các phương pháp toán học giúp ta tìm ra lời giải tốt nhất cho các bài toán thực tế, gọi là các phương pháp tối ưu hóa. Lớp các phương pháp tối ưu hóa bao gồm nhiều lý thuyết toán học khác nhau, tiêu biểu là Qui hoạch toán học, lý thuyết trò chơi, lý thuyết đồ thị Trong qui hoạch toán học, tiêu biểu là Qui hoạch tuyến tính, Qui hoạch phi tuyến, Qui hoạch động, Quy hoạch tham số, Qui hoạch nguyên Trong lý thuyết trò chơi, tiêu biểu là Lý thuyết lựa chọn quyết định, Bài toán trò chơi chiến lược, bài toán trò chơi vi phân Trong Lý thuyết đồ thị có các bài toán tối ưu trên mạng, bài toán PERT, Các bài toán đường đi Các lớp phương pháp toán học thuộc Lý thuyết tối ưu có thể biểu diễn bởi sơ đồ sau Lý thuyết tối ưu Các phương pháp tối ưu Mô hình tối ưu ..... ..... Mô Mô ..... Quy Lý Lý Mô hình hình hoạch thuyết thuyết hình phục quản lý toán đồ thị trò chơi toán vụ đám dự trữ học kinh tế đông 1 1 2 3 Quy hoạch toán học Quy Quy Quy Quy ..... hoạch hoạch phi hoạch hoạch tuyến tuyến động tham số tính 3 Chương I Một số kiến thức mở đầu 3 Lý thuyết trò chơi Bài toán Bài toán Bài toán ..... lựa chọn trò chơi trò chơi quyết chiến vi phân định lược Bài toán tối ưu tổng quát. Bài toán quy hoạch toán học tổng quát được phát biểu như sau Cực đại hóa cực tiểu hóa hàm f x → max min Với các điều kiện gi x ≤ =, ≥ bi i = 1, m x ∈ X. ⊂ IRn . Hàm f x cho ở 1 -1 gọi là hàm mục tiêu. Các hàm gi x i = 1, m gọi là hàm ràng buộc. Tập hợp D = {x ∈ X gi x ≤ =, ≥ bi, i = 1m} , Gọi là miền ràng buộc chấp nhận được. - Mỗi một bất đẳng thức, đẳng thức trong gọi là một ràng buộc của bài toán - - - Điểm x = x1, x2, ..., xn ∈ D gọi là một phương án của bài toán - - hay là một giải pháp chấp nhận được. - Một phương án x* ∈ D làm cực đại cực tiểu hàm mục tiêu gọi là phương án tối ưu hay lời giải hoặc phương án tốt nhất. Theo định nghĩa trên thì x* ∈ D là phương án tối ưu khi và chỉ khi f x* ≥ f x, ∀x ∈ D, đối với bài toán max hay f x* ≤ fx, ∀x ∈ D, đối với bài toán min. Giá trị fx* gọi là giá trị tối ưu tốt nhất của hàm mục tiêu, hay là giá trị tối ưu của bài toán - - Phân loại các bài toán tối ưu. a - Nếu hàm mục tiêu fx và các ràng buộc gi x là hàm tuyến tính bậc 1 thì bài toán - - gọi là một Qui hoạch tuyến tính . trường hợp riêng là bài toán vận tải. b - Nếu biểu thức hàm mục tiêu fx và các ràng buộc gi x i = 1, m là hàm phụ thuộc tham số, thì bài toán ÷ gọi là qui hoạch tham số. 4 Chương I Một số kiến thức mở đầu c - Nếu bài toán ÷ được xét trong quá trình nhiều giai đoạn hoặc trong quá trình thay đổi theo thời gian thì gọi là Qui hoạch động. d - Nếu bài toán ÷ mà hàm mục tiêu fx hoặc có ít nhất một trong các hàm gi x, i = 1, m là phi tuyến thì gọi là Qui hoạch phi tuyến, trường hợp riêng là Qui hoạch lồi hoặc Qui hoạch lõm. Qui hoạch lồi lõm là Qui hoạch toán học mà hàm mục tiêu fx là lồi lõm trên tập hợp các ràng buộc D lồi lõm. e - Nếu bài toán ÷ mà miền ràng buộc D là tập rời rạc thì gọi là Qui hoạch rời rạc. g - Nếu bài toán ÷ có các biến xi ∈ IR1 là thành phần i trong véc tơ x ∈ X ⊂ IRn, chỉ nhận các giá trị nguyên, thì gọi là Qui hoạch nguyên. h - Nếu bài toán ÷ mà các biến xi ∈ IR1 chỉ nhận các giá trị O hoặc 1, gọi là Qui hoạch Bul xi là thành phần i của véc tơ x. i - Nếu bài toán ÷ mà trên miền D ta xét đồng thời nhiều mục tiêu khác nhau, gọi là Qui hoạch đa mục tiêu Nội dung nghiên cứu của môn học. a. Quy hoạch tuyến tính. b. Bài toán vận tải. c. Bài toán tối ưu trên mạng. d. Mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế. e. Mô hình phục vụ đám đông. g. Mô hình quản lý dự trữ. CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒI. Không gian tuyến tính n chiều Rn. a. Véc tơ n chiều. Một hệ thống được sắp , gồm n số thực, dạng x = x1 x2, ..., xn, gọi là một véc tơ n chiều. Thí dụ x = 4, 0, 5, 10, 15 là một véc tơ 5 chiều. Các số xi, i = 1, n , gọi là thành phần thứ i của véc tơ x. Hai véc tơ x =x1, x2, ..., xn và y1, y2, ..., yn gọi là bằng nhau, nếu xi = yi, i = 1, n . Khi đó ta viết x ≡ y. Vậy x ≡ y ⇔ xi =yi, i = 1, n . Cho hai véc tơ x = x1, x2, ..., xn y = y1, y2, ..., yn và α ∈ R1. Ta định nghĩa phép cộng hai véc tơ x và y là véc tơ x+y, được xác định như sau x+y= x1+ y1, x2 + y2, ..., xn + yn 1 Phép nhân véc tơ x với một số α ∈ R là véc tơ αx, được xác định như sau 5 Chương I Một số kiến thức mở đầu αx = αx1, αx2, ..., αxn - Véc tơ θ = 0, 0, ....., 0 gồm các thành phần toàn là số 0, gọi là véc tơ không. * Các tính chất của phép cộng véctơ và nhân véctơ với một số. - Nếu x và y là hai véctơ n chiều thì x+y cũng là véc tơ n chiều. - Với mọi véc tơ n chiều x và y ta đều có x+y =y+x. - Với mọi véc tơ n chiều x, y và z ta đều có x + y+z = x+y +z. - Luôn tồn tại véctơ θ n chiều sao cho θ +x = x+ θ =x. - Mỗi véctơ n chiều x luôn tồn tại véc tơ n chiều -x sao cho x+ -x=-x +x = θ - ∀ k ∈ R và với mọi véc tơ n chiều x thì kx cũng là véc tơ n chiều. - ∀ k ∈ R và với mọi véc tơ n chiều x và y ta có k x+y = kx+ky. - ∀ l, k ∈ R và với mọi véc tơ n chiều x ta luôn có k +l x = kx +lx. - ∀ l, k ∈ R và với mọi véc tơ n chiều x ta luôn có klx = kl x. - Mọi véc tơ n chiều ta luôn có = x. b. Không gian tuyến tính n chiều Rn. Tập hợp tất cả các véc tơ n chiều, trong đó xác lập phép toán cộng Véc tơ và nhân véc tơ với một số thực như và và thoả mãn 10 tính chất nêu trên, gọi là một không gian tuyến tính n chiều. Ký hiệu IRn. Một số tính chất đối với véc tơ trong Rn. a. Định nghĩa. Các véc tơ xi ∈ Rn, i = 1, m , gọi là độc lập tuyến tính nếu m ∑i =1 αi xi = θ ⇔ αi = 0, ∀i = 1, m . m - Nếu tồn tại ít nhất một số αj ≠ 0 , 1 ≤ j ≤ m, sao cho ∑ i =1 αi xi = θ , thì ta nói rằng các véc tơ x ∈ Rn, i = 1, m , là phụ thuộc tuyến tính. m - Nếu tồn tại véc tơ xi ∈ Rn, sao cho x = ∑ i =1 αixi, với ít nhất một αi ≠ 0, 1≤ i≤ m, thì x gọi i là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ x , i = 1, m . m m - Nếu x = ∑ i =1 αi xi với αi ≥ 0, i = 1, m , và ∑ i =1 αi = 1 thì x gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ xi, i = 1, m . - Trong không gian véc tơ Rn, hệ n Véc tơ độc lập tuyến tính lập thành cơ sở của IRn. Giả sử C1, C2, ..., Cn là một cơ sở của Rn, khi đó ∀x ∈ Rn đều có thể biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các Véc tơ cơ sở. Ci, i = 1, n . 6 Chương I Một số kiến thức mở đầu b. Cho hai véc tơ bất kỳ x, y∈ Rn, x = x1, x2, ... xn và y = y1, y2, ...., yn , ta gọi tích vô hướng của hai véc tơ x và y là một số thực, ký hiệu là , được xác định như sau m = ∑ i =1 xi yi . - Độ dài của Véc tơ x ∈ Rn là số thực, ký hiệu x , được xác định như sau n x = = ∑ x i2 i =1 - Chú ý Tích vô hướng hai véc tơ có các tính chất sau b1, = . Tính giao hoán ∀ x, y ∈ Rn . b2, = + , ∀ x1, x2, y ∈ Rn . Tính phân phối đối với phép cộng. b3, = λ , ∀λ ∈ R1, ∀ x, y ∈ Rn . b4> ≥ 0 ∀x ∈ Rn, dấu bằng xảy ra khi x = θ . Với mỗi ∀x, y ∈ Rn, ta định nghĩa khoảng cách giữa hai véc tơ x, y, ký hiệu ρ x, y là số thực, được xác định như sau n ρ x, y = x− y = = xi − y i 2 . i =1 Chú ý Khoảng cách giữa hai véc tơ x, y ∈ Rn, chính là độ dài của véc tơ hiệu x+ -1y = x - y. Hiệu của hai Véc tơ. Không gian Ơclít. Một không gian tuyến tính n chiều, trong đó xác định phép toán tích vô hướng, do đó xác định một khoảng cách giữa hai véc tơ, gọi là không gian Ơclít, ký hiệu IRn. Tập Compact. a. Các định nghĩa. Dãy {xk} ⊂ Rn, gọi là hội tụ đến điểm xo∈ IRn khi k→∞, nếu lim ρxk, xo = 0. Khi đó ta k →∞ nói {x } có giới hạn là x khi k → ∞ , và viết lim x = x . k o k o k →∞ - Một tập hợp S = {x∈IR ρx, a ≤ r, a∈ IRn, r ∈ IR1}, gọi là một hình cầu tâm a, bán kính n r trong IRn. - Hình cầu S nói trên, tạo thành một lân cận của điểm a, gọi là r -lân cận của a. - Cho tập hợp A ⊂ IRn, điểm x∈ A được gọi là điểm trong của A nếu ∃ ε - lân cận của x nằm trọn trong A. - Điểm x ∈ A ⊂ IRn, được gọi là điểm biên của A, nếu mọi lân cận của x đều có chứa các điểm thuộc A và các điểm không thuộc A. - Cho tập hợp A ⊂ IRn, ta nói tập hợp A là giới nội nếu ∃ hình cầu chứa trọn nó, nghĩa là ∃ số thực r đủ lớn và điểm a∈ IRn sao cho ∀x∈ A ta đều có ρx, a [x, y] ⊂ A ∩ B. Vậy A ∩ B lồi. Hệ quả 1. Giao của một số bất kỳ tập lồi là tập lồi. Hệ quả 2. Tập hợp các nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất dạng a11x1 + a12x2 +........ + amxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 +........ + a2nxn ≤ b2 - am1x1 + am2x2 +........+ amnxn ≤ bm, là một tập hợp lồi, gọi là khúc lồi đa diện, trong Rn. Chú ý . Một khúc lồi đa diện giới nội gọi là đa diện lồi, ký hiệu D. Giao của các tập hợp lồi chứa D ta gọi là bao lồi của D. Ký hiệu [D]. c. Điểm cực biên. Đỉnh của đa diện lồi hoặc khúc lồi gọi là điểm cực biên. Rõ ràng điểm cực biên x không thể là điểm trong của đoạn thẳng nối hai điểm nào đó thuộc D, nghĩa là không thể tồn tại hai điểm x1, x2∈ D sao cho x= λ x1+1- λ x2, λ ∈ 0, 1. Hàm lồi . a. Định nghĩa. Một hàm fx, xác định trên tập hợp lồi C ⊂ Rn, được gọi là ∀ hàm lồi nếu ∀ cặp điểm x1, x2 ∈ C và ∀ số λ ∈ [0, 1] ta luôn luôn có 9 Chương I Một số kiến thức mở đầu f λx 1 + 1 − λ x 2 ≤ λ fx1 + 1 - λ fx2 Nếu trong xảy ra dấu ≤ thì hàm fx gọi là hàm lồi chặt. Nếu trong xảy ra dấu ≤ thì hàm fx gọi là hàm lõm, xảy ra dấu > thì hàm fx gọi là hàm lõm chặt. fx fx2 λfx1 + 1 -λ fx2 fλx1 + 1 - λx2 fx1 0 x' x x2 x Chú ý. Nếu hàm f x lồi trên tập C ⊂ IRn thì hàm - f x lõm trên tập C, ngược lại nếu f x lõm trên tập lồi C ⊂ IRn thì hàm - f x lồi trên tập hợp C. - Ta nói hàm fx xác định trên tập lồi C đạt cực tiểu tuyệt đối tại x*∈ C nếu fx* ≤ fx, ∀x∈C, đạt cực đại tuyệt đối tại x* ∈c nếu fx* ≥ fx, ∀x ∈ C. - Ta nói hàm f x xác định trên tập lồi C, đạt cực tiểu địa phương tại x*∈C nếu ∃ lân cận Bε của x* sao cho fx ≤ fx, ∀x ∈ B ε . - Ta nói hàm f x xác định trên tập lồi C, đạt cực đại địa phương tại x*∈C, nếu ∃ lân cận B ε của x* sao cho fx ≥ fx, ∀x ∈ B ε . b. Định lý Mọi điểm cực trị địa phương của hàm lồi trên tập hợp lồi đều là điểm cực trị tuyệt đối. Chứng minh. Giả sử x* là cực tiểu địa phương nhưng không cực tiểu tuyệt đối trên tập C lồi, như vậy ∃ x1∈ C sao cho f x* fx1. Xét tổ hợp lồi của hai điểm x* và x1 X = α x* + 1 - α x1, 0 ≤ α ≤ 1. Nếu α = 0 thì x ≡ x1. Khi đó ∃ αo ≤ 0, 1 sao cho x≤ B ε , với ε ∈ [0, αo lấy δ1∈ 0, αo 1 ta có xδ1= 1-δ1 x* + δ1 x ∈ B ε . Do f lồi nên có f 1-δ1 x*+δ1x1 ≤ 1-δ1 f x* +δ1 fx1. 1-δ1 f x* +δ1 fx* = f x*, điều này mâu thuẫn với hàm f x* đạt cực tiểu địa phương tại x*. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Hệ quả 1. Mọi điểm cực đại địa phương của hàm lõm trên tập hợp lồi đều là cực đại tuyệt đối. - Ta gọi đạo hàm theo hướng z của hàm f tại x là đại lượng f x + λz − f x δf x, z = lim , nếu giới hạn này tồn tại. λ→ 0 λ 10 Chương I Một số kiến thức mở đầu c - Bổ đề Nếu hàm f x là hàm lồi khả vi trên C lồi. Khi đó ∀x∈ C và với mọi z sao cho x+z ∈ C thì δf x, z tồn tại và nghiệm đúng bất đẳng thức và đẳng thức sau i δf x, z ≤ f x +z - f x. n δf x ii δf x, z = zi = . i =1 δx 1 ⎛ δf x δf x δf x ⎞ Trong đó Véc tơ Δ f x = ⎜ ⎜ δx , δx ,..., δx ⎟ gọi là građient của hàm fx tại x, ⎟ ⎝ 1 2 n ⎠ z = z1, z2... zn Một số tiêu chuẩn nhận biết hàm lồi. Cho x, z ∈IRn, đặt hàm số ϕ λ = fx+λz, ∀ λ ∈[0, 1], Định lý Hàm fx là lồi trên IRn khi và chỉ khi hàm số ϕ λ là lồi với λ ∈ [0, 1] và x, z ∈ Rn . Định lý a. Hàm fx khả vi trên IRn là lồi khi và chỉ khi ∀ x, z ∈ IRn cho trước, hàm ϕ'λ = không giảm theo λ. b. Hàm fx khả vi hai lần trên IRn là lồi khi và chỉ khi ∀ x, y ∈ IRn cho trước, dạng toàn phương là xác định không âm. Chú ý. Một dạng toàn phương là xác định không âm khi và chỉ khi ≥ 0, ∀z ∈ IRn . Hệ quả 1. 1 Một hàm bậc hai dạng fx = + , trong đó P = p ijnxn là ma trân đối 2 xứng cấp nxn, là một hàm lồi khi và chỉ khi ma trân P là xác định không âm. Chú ý. Để ma trận P là xác định không âm thì điều kiện cần và đủ là tất cả các định thức con chính của ma trận này không âm, nghĩa là a 11 a 12 ........ a 1 n a 11 a 12 a 21 a 22 ....... a 2 n Δ1 = a11 ≥ 0 ; Δ2 = ≥ 0, ..., Δn = ≥0 a 21 a 22 .......... .......... ... a n 1 a n 2 ........ a nn BÀI TẬP CHƯƠNG I. Bài 1. Một doanh nghiệp có 300 đơn vị nguyên liệu loại A, 500 đơn vị nguyên liệu loại B và 200 đơn vị nguyên liệu loại C để sản xuất 4 loại sản phẩm I, II, III, IV. Định mức nguyên liệu cần thiết và tiền lãi của sản xuất cho bởi bảng 1. Hãy lập kế hoạch sản xuất của xí nghiệp trên sao cho thu được lãi suất lớn nhất. Bảng 1 11 Chương I Một số kiến thức mở đầu Hàng hoá I II III IV Nguyên liệu A 300 12 5 15 6 B 500 14 8 7 9 C 280 17 13 9 12 Lãi đơn vị tiền 5 8 4 6 Bài 2. Cần sản xuất ít nhất 75 sản phẩm loại A, 58 sản phẩm loại B và 64 sản phẩm loại C. Người ta có thể áp dụng 3 cách sản xuất I, II, III, IV. Trong một đơn vị thời gian, năng suất và chi phí của từng cách sản xuất cho bởi bảng 2. Bảng 2 Cách sản xuất I II III Loại sản phẩm A ≥ 75 3 6 7 B ≥ 58 5 9 3 C ≥ 64 2 8 4 Chi phí đơn vị tiền 2 4 3 Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho chi phí nhỏ nhất mà vẫn đạt được các yêu cầu đặt ra. Bài 3. Một Công ty có ba xí nghiệp cùng loại A, B, C có khả năng sản xuất được 3 loại sản phẩm I, II, III. Biết rằng nếu đầu tư một đơn vị tiền vào xí nghiệp A trong một năm sẽ sản xuất được 1200 sản phẩm loại I, 800 sản phẩm loại II và 1050 sản phẩm loại III. Đầu tư vào xí nghiệp B một đơn vị tiền, được 1000 sản phẩm loại I, 740 sản phẩm loại II, 900 sản phẩm loại III. Đầu tư vào xí nghiệp C một đơn vị tiền thì sản xuất được 1100 sản phẩm loại I, 600 sản phẩm loại II, 1000 sản phẩm loại III. Định mức tiêu hao nguyên liệu và lao động của mỗi xí nghiệp trong sản xuất được cho ở bảng 3. Nguyên liệu, lao động hàng năm Công ty có thể cung cấp cho sản xuất ba loại sản phẩm này là KG và giờ công. Theo kế hoạch phải sản xuất ít nhất là đơn vị sản phẩm loại I, đơn vị sản phẩm loại II, và đơn vị sản phẩm loại III. Hãy tìm một phương án đầu tư sao cho thu được các sản phẩm theo kế hoạch mà vốn đầu tư ít nhất. Bảng 3 Định mức hao phí ng. liệu Kg/sản phẩm và lao động g/sản phẩm Doanh I II III nghiệp Ng. liệu Lao động Ng. liệu Lao động Ng. liệu Lao động A 4 2 10 4 8 4, 5 B 4, 2 3 9 4, 5 7, 8 5 12 Chương I Một số kiến thức mở đầu C 4, 5 2, 5 10, 5 5 8, 4 4 Bài 4. Một xí nghiệp quân đội có 4 loại máy A, B, C, D, sản xuất ra 6 loại sản phẩm I, II, III, IV, V, VI. Số giờ của mỗi loại máy để sản xuất mỗi loại sản phẩm và giá tiền mỗi loại sản phẩm ghi ở bảng 4. Năng lực sản xuất của các l\mãy đều có hạn, nếu dùng quá sẽ bị hỏng. Giả sử trong 1 tuần, mỗi máy loại A, B, C, D tương ứng làm việc không quá 850, 700, 100 và 900 giờ. Hãy lập một phương án sản xuất để thu được sản phẩm mỗi loại lớn nhất mà vẫn bảo đảm an toàn cho máy móc và thiết bị. Bảng 4 Sản phẩm Loại Loại Loại Loại Loại Số giờ sản Loại I II III IV V VI xuất 1 sp trên máy. A 0, 01 0, 01 0, 01 0, 03 0, 03 0, 03 B 0, 02 0, 05 C 0, 02 0, 05 D 0, 03 0, 08 Giá 1 sản phẩm đ/v tiền 0, 40 0, 28 0, 32 0, 72 0, 64 0, 60 Bài 5. Một máy bay vận tải quân sự có trọng tải M. Cần chở n loại thiết bị bằng máy bay. Trọng lượng loại bưu kiện i, i = 1, n là αi, có giá trị βi . Hãy tìm phương án chở mỗi loại thiết bị bao nhiêu đơn vị lên máy bay để trọng lượng tổng cộng không vượt quá tải trọng của máy bay mà đạt được tổng giá trị lớn nhất ? Bài toán Qui hoạch nguyên. 13 Chương II Quy hoạch tuyến tính CHƯƠNG II QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ DẪN TỚI MÔ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài toán lập kế hoạch sản xuất. Giả sử một Công ty sản xuất n loại sản phẩm và phải sử dụng m loại nguyên liệu khác nhau. Gọi xj là sản lượng sản phẩm loại j, j = 1, n mà Công ty sẽ sản xuất, cj là tiền lãi hay giá một đơn vị sản phẩm loại j, aij là chi phí nguyên liệu loại i, i = 1, m , để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại j, bi là lượng nguyên liệu loại i tối đa có thể có. Trong các điều kiện đã cho, hãy xác định sản lượng xj, j = 1, n sao cho tổng tiền lãi hay tổng giá trị sản lượng hàng hoá là lớn nhất với số nguyên liệu hiện có. Bài toán thực tiễn trên, có thể mô hình toán học như sau Tìm x = x1, x2, ..., xn ∈ IRn , làm cực đại hàm mục tiêu n fx = ∑j =1 cj xj → max với các điều kiện n ∑j =1 aij xj ≤ bi, i = 1, m , xj ≥ 0, j = 1, n Bài toán trên là một bài toán Qui hoạch tuyến tính. Bài toán vận tải. Có m kho hàng cùng chứa một loại hàng hoá, Ai , i = 1, m Ai điểm phát thứ i. Lượng hàng ở kho Ai là ai, i = 1, m . Có n địa điểm tiêu thụ hàng Bj, nhu cầu tiêu thụ ở điểm Bj là bj, j = 1, n Bi điểm thu thứ i. Biết rằng cước phí vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ điểm phát Ai đến điểm thu Bj là cij. Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hoá từ các địa điểm phát đến các địa điểm thu hàng sao cho tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất. Nếu ta ký hiệu xij là lượng hàng vận chuyển từ điểm phát Ai, i = 1, m đến điểm thu Bj, với j = 1, n , thì ta có thể mô hình toán học bài toán thực tế như sau Tìm véc tơ x= x1, x2,..., xn+m ∈ IRnxm ,sao cho m n Fx = ∑∑ i =1 j =1 cij xij → min với các điều kiện 14 Chương II Quy hoạch tuyến tính n ∑ j =1 xij = ai, i = 1, m m ∑ i =1 xij = bi, j = 1, n xij ≥ 0, i = 1, m , j = 1, n Ngoài ra bài toán phải thoả mãn điều kiện n m ∑ j =1 bj = ∑ i =1 ai cân bằng thu và phát. Đây là một dạng của bài toán Quy hoạch tuyến tính. Bài toán người bán hàng Bài toán cái túi. Một cửa hàng cần phải vận chuyển một lượng hàng trên một chuyến nặng không được quá b kg. Có n loại đồ vật mà cửa hàng cần phải vận chuyển đi bán, mỗi đồ vật loại j, j = 1, n , có khối lượng aj kg. Và có giá trị là cj . Hãy xác định xem trong một chuyến hàng, cửa hàng cần đưa lên phương tiện vận chuyển các đồ vật nào để tổng giá trị các đồ vật thu được là lớn nhất. Nếu ta ký hiệu xj là số đồ vật loại j sẽ đưa lên phương tiện vận chuyển, ta có mô hình toán học bài toán như sau Tìm x = x1, x2,...,xn ∈ Rn sao cho n fx = ∑ j =1 cj xj → max Với điều kiện n ∑ j =1 aj xj ≤ b xj ≥ 0, j = 1, n xj - nguyên, j = 1, n Đây là bài toán Qui hoạch nguyên. Bài toán lập kế hoạch đầu tư vốn cho sản xuất. Cần phải đầu tư vốn vào m xí nghiệp để sản xuất ra n loại sản phẩm. Do trang bị kỹ thuật - công nghệ và tổ chức sản xuất khác nhau nên hiệu quả của vốn đầu tư vào các xí nghiệp cũng khác nhau. Qua phân tích, người ta biết rằng khi đầu tư một đơn vị tiền vào xí nghiệp thứ i, i = 1, m , trong một năm sẽ sản xuất ra được bij đơn vị sản phẩm loại j, j = 1, n . Tổng số nguyên liệu và lao động hàng năm có thể cung cấp là A và C tính theo giờ/công. Hãy xác định một kế hoạch đầu tư sao cho đảm bảo sản xuất được ít nhất Bj đơn vị sản phẩm loại j mà tổng số vốn đầu tư nhỏ nhất, biết rằng các định mức hao phí về nguyên liệu và lao động khi sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại j ở xí nghiệp i, i = 1, m , tương ứng là aij và cij, i = 1, m , j = 1, n . 15 Chương II Quy hoạch tuyến tính Gọi vốn đầu tư vào xí nghiệp i là xi đơn vị tiền. Khi đó số lượng sản phẩm loại j sản xuất ở xí nghiệp i là bij xi và số nguyên liệu sử dụng ở xí nghiệp này để sản xuất ra các sản phẩm j là aij n bij xi .Vậy toàn bộ nguyên liệu sử dụng ở xí nghiệp i là ∑ j =1 aij bijxi và tổng số nguyên liệu sử m n dụng cho kế hoạch sản xuất chung là ∑ ∑ i =1 j =1 aij bij xi. m n Tương tự, ta suy ra tổng số lao động sử dụng trong kế hoạch sản xuất là ∑ ∑ cij bij xi i =1 j =1 m Tổng số vốn đầu tư, theo bài toán đặt ra, là ∑ i =1 xi và tổng số sản phẩm loại j sản xuất được m là ∑ i =1 bij xi . Theo mục tiêu của bài toán thực tế đặt ra thì bài toán có thể mô hình toán học như sau Tìm véc tơ x = x1, x2 ,..., xn ∈ IRm sao cho m fx = ∑i =1 xi → min với điều kiện m n ∑ ∑ i =1 j =1 aij bij xi ≤ A m n ∑ ∑ i =1 j =1 cij bij xi ≤ C m ∑i =1 bij xi ≥ Bj, j = 1, n xi ≥ 0, i = 1, m Đây là một dạng của bài toán Qui hoạch tuyến tính. MÔ HÌNH BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát Tìm x = x1, x2...xi,...xn ∈IRn. n Sao cho fx = Cj xj → max min j = 1 Thỏa mãn điều kiện n aij xj ≤, = ≥ bi i= 1, m j = 1 xj≥ 0 j = 1, n 16 Chương II Quy hoạch tuyến tính Để xây dựng cơ sở lý luận giải bài toán, chỉ cấn xét một trong hai dạng bài toán, chẳng hạn bài toán tìm giá trị lớn nhất f → max của hàm mục tiêu, còn bài toán tìm giá trị bé nhất f → min của hàm mục tiêu có thể chuyển đổi như sau * Giữ nguyên hệ ràng buộc và n * Đưa hàm mục tiêu fx = ∑ j =1 Cj xj → min n về f x = - f x = - Cj xj → max, ta có mô hình bài toán j = 1 Tìm x = x1 , x2 , ..., xj ,... xn ∈IRn n Sao cho f x = - Cj xj → max j = 1 n Thoả mãn điều kiện aij xj ≤, =, ≥ bi i = 1, m j = 1 xi ≥ 0 j = 1, n Bổ đề Nếu bài toán ÷ có xopt = x*, thì bài toán ÷ với f x → min cũng có xopt = x* và fmin = - f max Thật vậy, theo giả thiết ÷ có xopt = x* với hàm mục tiêu n f x = -cj . xj→ max , thì j = 1 f x ≤ f x* ∀x∈D - tập các phương án n n n n ⇔ -cj . xj ≤ - cj . x * ⇔ j cj. x * ≤ j cj xj j = 1 j = 1 j = 1 j = 1 ⇔ f x ≥ f x* ∀x ∈ D ⇔ x* = xopt của với fx → min. n n fmin = cj x * = - j -cj x * = - f j max đpcm j = 1 j = 1 Như vậy mọi bài toán - với fx → min có thể chuyển f x → max. Dạng chuẩn tắc a- Dạng đầy đủ Tìm x= x1 ,.... , xj ,.... xn ∈ IRn Sao cho fx = c1x1 +...+ci xi +...+ cn xn → max 17 Chương II Quy hoạch tuyến tính Thoả mãn a11 x1 +...+ a1i xi +...+a1n xn ≤ b1 a21 x1 +...+ a21xi +...+a2n xn ≤ b2 - ai1 x1 +...+ aii xi +...+ ain xn ≤ b1 - am1 x1+...+ami xi +...+ amn xn ≤ bm xi ≤ 0 i = 1, n b. Dạng rút gọn. n fx = cixi → max j = 1 n aii xi ≤ bi i= 1, m j = 1 xi ≥ 0 δ = 1, n Tính chất của hàm mục tiêu và dạng bất phương trình của hệ ràng buộc xuất phát từ ý nghĩa thực tiễn của bài toán đặt ra. Chẳng hạn như bài toán lập kế hoạch sản xuất để hiệu quả kinh tế tổng cộng lớn nhất, khi phải hạn chế chi tiết nguyên liệu sử dụng. Ngược lại, trong bài toán xác định vốn đầu tư cho sản xuất phải khai thác tối đa trang bị kỹ thuật - công nghệ để sao cho đạt được yêu cầu về giá trị sản phẩm làm ra mà vốn đầu tư ít nhất. Dạng chính tắc a- Dạng đầy đủ n f x = cixi → max i = 1 n aiixi = bi i = 1, m i = 1 xi ≥ 0 i = 1, n b. Dạng ma trận Gọi ma trận hàng, gồm các phần tử là hệ số các ẩn trong hàm mục tiêu là C C = [ c1 c2...cn] Ma trận cột ⎡ b1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ B = ⎢b2 ⎥ , x = ⎢ 2⎥ ⎢bm ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ xn ⎥ ⎣ ⎦ 18
Bài giảng Toán kinh tế được áp dụng cho sinh viên tất cả các ngành kinh tế, gồm 8 chương, cụ thể như sau Giới hạn hàm một biến; Phép tính vi phân hàm một biến; Phép tính tích phân hàm một biến; Phép tính vi phân hàm nhiều biến; Ma trận và định thức; Hệ phương trình tuyến tính; Bài toán quy hoạch tuyến tính; Bài toán vận tải. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIÊN GIANG KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN Danh Ngọc Thắm BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ Lưu hành nội bộ NĂM 2017 Danh Ngọc Thắm BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ Tài liệu dùng cho hệ Đại học Cao đẳng NĂM 2017 LỜI GIỚI THIỆU Toán học ngày nay đã trở thành một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực không những trong khoa học tự nhiên mà ngay cả trong các lĩnh vực bên xã hội. Tuy nhiên những khái niệm toán học khá phức tạp và trừu tượng có thể làm một số sinh viên không chuyên khó tiếp cận. Chính vì vậy bài giảng này được viết theo hướng giảm thiểu các lý thuyết trừu tượng cung cấp một số kiến thức toán cơ bản thường được sử dụng trong kinh tế và một số ứng dụng thường gặp. Bài giảng Toán kinh tế được áp dụng cho sinh viên tất cả các ngành kinh tế gồm 8 chương cụ thể như sau Chương 1. Giới hạn hàm một biến Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến Chương 4. Phép tính vi phân hàm nhiều biến Chương 5. Ma trận và định thức Chương 6. Hệ phương trình tuyến tính Chương 7. Bài toán quy hoạch tuyến tính Chương 8. Bài toán vận tải Mặc dù rất cố gắng nhưng đây là biên soạn đầu tiên chắc sẽ còn những sai sót do lỗi đánh máy. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp và các sinh viên để bài giảng ngày càng hoàn chỉnh hơn. Danh Ngọc Thắm Dntham MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU . i MỤC LỤC. i CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN. 1 Các khái niệm cơ bản hàm một biến. 1 Biến số. 1 Hàm số và miền xác định của hàm số. 1 Đồ thị của hàm số . 2 Hàm số sơ cấp và các phép toán trên hàm số. 2 Một số đặc trưng của hàm số. 3 Các hàm trong phân tích kinh tế . 5 Dãy số - Một số bài toán về lãi suất. 6 Dãy cấp số cộng và công thức lãi đơn . 7 Dãy cấp số nhân. 7 Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ . 8 Kỳ khoản và các giá trị của các luồng vốn . 9 Giới hạn hàm số . 11 Giới hạn của hàm số tại một điểm. 11 Giới hạn một phía . 11 Các tính chất và
Uploaded byNguyễn Thị Ngọc Hoa 0% found this document useful 0 votes49 views13 pagesCopyright© © All Rights ReservedShare this documentDid you find this document useful?Is this content inappropriate?Report this Document0% found this document useful 0 votes49 views13 pagesBÀI GIẢNG MÔN TOÁN KINH TẾUploaded byNguyễn Thị Ngọc Hoa Full descriptionJump to Page You are on page 1of 13Search inside document You're Reading a Free Preview Pages 6 to 12 are not shown in this preview. Buy the Full Version Reward Your CuriosityEverything you want to Anywhere. Any Commitment. Cancel anytime.
Bài tập về nhà DẠNG 4 Homework-4 Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, đƣợc đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10 tô màu vàng; số 2,5,6,9,12 tô màu nâu; các số còn lại tô màu trắng. Tính xác suất để khi ném một lần hai hộp đồng thời lên thì xuất hiện a/ 2 mặt màu trắng? b/ 2 mặt cùng màu nâu hoặc vàng? c/ ít nhất có 1 mặt màu vàng hoặc trắng? d/ 2 mặt có tổng bằng 10? e/ 2 mặt có hiệu bằng 8? f/ 2 mặt có màu khác nhau? 115 trang Chia sẻ Lượt xem 993 Lượt tải 0 Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng môn Toán kinh tế, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênntchuyen NTC_2010 TOÁN KINH TẾ TRƢỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE 137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh Web - Tel - Fax Toán kinh tế NTC_2010 Chương trình • Chương 1. Đại số tuyến tính và toán xác suất. • Chương 2. Giới thiệu về mô hình toán kinh tế. • Chương 3. Phương pháp đơn hình và bài toán đối ngẫu. • Chương 4. Bài toán vận tải. Toán kinh tế NTC_2010 Tài liệu tham khảo • Đại số tuyến tính & Quy hoạch tuyến tính – GSTS. Ngô Thành Phong, ĐHKHTN TPHCM 2001. 4 §1. Ma trận - Khái niệm ma trận - Ma trận vuông - Các phép toán trên ma trận A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 1. Khái niệm ma trận • Định nghĩa ma trận Ma trận cấp mxn là bảng số thực hình chữ nhật có m dòng và n cột . 11 1 1 1 1 ... ... ... ... ... ... j n i ij in m mj mn a a a a a aA a a a Cột j Dòng i 5 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ 1. 1 4 20 2 5A A là ma trận thực cấp 2x3 gồm 2 dòng và 3 cột 11 12 13 21 22 231; 4; 2; 0; 2; 5a a a a a a Phần tử của A Ví dụ 2 1 2 1 3 3 2 5 1 4 A 6 1. Khái niệm ma trận A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn được ký hiệu là MmxnR Ma trận A có m dòng và n cột thường được ký hiệu bởi nmij aA Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không, ký hiệu 0, aij = 0 với mọi i và j. Định nghĩa ma trận không 000 000 A 7 1. Khái niệm ma trận A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Nếu số dòng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuông cấp n. Định nghĩa ma trận vuông 2 1 3 2 A Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu bởi MnR 8 2. Ma trận vuông A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 2 3 1 1 3 4 0 5 2 1 3 7 2 1 6 8 Các phần tử a11, a22,,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận vuông A. Ma trận đường chéo là ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Lúc đó ma trận đường chéo được ký hiệu diaga11, a22,,ann với aii là các phần tử nằm trên đường chéo chính. 9 2. Ma trận vuông A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu Định nghĩa ma trận tam giác trên 200 630 312 A ij n nA a ij 0, a i j Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác dưới nếu Định nghĩa ma trận tam giác dưới 2 0 0 4 1 0 5 7 2 A ij n nA a ij 0, a i j 10 2. Ma trận vuông A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, tức là aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i. Định nghĩa ma trận đơn vị 100 010 001 I 2. Ma trận vuông Ma trận đơn vị cấp n được ký hiệu bởi In 11 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 3. Các phép toán ma trận Hai ma trận bằng nhau nếu 1 cùng cấp; 2các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau aij = bij với mọi i và j. a. Hai ma trận trận bằng nhau 12 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 23 93 01 42 TA 32 904 312 A Chuyển vị của là ma trận cấp nXm thu được từ A bằng cách chuyển dòng thành cột. mnij T aA b. Ma trận chuyển vị nmij aA Ví dụ 13 3. Các phép toán ma trận A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 14 Ma trận vuông A thỏa aij = aji với mọi i = 1,.n và j =1,,n được gọi là ma trận đối xứng tức là, nếu A = AT Định nghĩa ma trận đối xứng 073 741 312 A Tính chất a ATT= A; b AT = BT A =B 3. Các phép toán ma trận A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 c. Phép nhân ma trận với một số. Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần tử của ma trận. 503 421 A 1006 842 2 A Ví dụ Tính chất a A= A; b AT =AT 3. Các phép toán ma trận 15 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Tổng A + B Cùng cấp Các phần tử tương ứng cộng lại d. Cộng hai ma trận 741 623 ; 503 421 BA 1244 1002 BA Ví dụ 3. Các phép toán ma trận 16 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Tính chất a A + B = B + A; c A + B + C = A + B + C; b A + 0 = A; d A + B = A + B; e + A = A + A; f A + BT = AT + BT ; 3. Các phép toán ma trận 17 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 e. Nhân hai ma trận với nhau ; pij m i pj nA a B b nmijcCAB với pjipjijiij bababac ...2211 1 2 1 2 * * * ... ... ... * j j i i ip pj ij b b AB a a a b c 3. Các phép toán ma trận 18 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 11 12 13 21 22 23 1 2 2 2 1 4 3 0 1 4 1 0 2 4 3 c c c A B c c c 342 103 221 ; 014 412 BA Ví dụ Tính AB 11c 2 1 4 1 3 2 2 1 1 3 4 2 7 12 13 21 22 23 7 3. Các phép toán ma trận 19 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 2 1 1 ; 4 1 3 A B Ví dụ Tìm ma trận X, thỏa AX = B. Xác định cấp của ma trận X là 2x1. AX=B a X b Đặt 2 1 1 4 1 3 a b 2 1 4 3 a b a b 2 1 4 3 a b a b 2 1 , 3 3 a b 2/ 3 Vaäy 1/ 3 X 3. Các phép toán ma trận 20 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 a. ABC = ABC; + C = AB + AC; e. AB = AB = AB. d. ImA = A = AIm Tính chất của phép nhân hai ma trận c. B+CA = BA+CA; Chú ý 1. Nói chung BAAB 2. ACAB CB 0AB 00 BA3. 3. Các phép toán ma trận 21 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 1 2 4 3 8 53 4 2 1 20 13 4 3 1 2 13 202 1 3 4 5 8 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 3. Các phép toán ma trận 22 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 f. Lũy thừa ma trận. n n A A A A A 0Qui öôùc A I 2A A A 3A A A A Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó 3. Các phép toán ma trận 23 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 1 3 . 0 1 A Ví dụ Tính A2; A3, từ đó suy ra A200 2 1 3 1 3 0 1 0 1 A A A 1 1 6 0 3 2 1 6 1 3 0 1 0 1 A A A 1 1 9 0 200 1 0 1 200 3 A 3. Các phép toán ma trận 24 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 2 3 . 0 2 A Ví dụ Tính A200 2 3 1 3/ 2 2 0 2 0 1 A 1 2 0 1 a 1 1 Ta coù 0 1 0 1 n a na 200200 200 200 3002 2 0 2 A 3. Các phép toán ma trận 25 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 1. Phép toán nào sau đây thực hiện được và tính toán kết quả 2 1 0 1 1 3 2 1 . 3 1 2 7 5 1 0 0 a 1 2 1 2 3 . 2 3 4 5 6 b 2 1 0 1 . 3 3 1 2 7 c 1 3 2 1 . 0 5 1 0 0 d 1 0 1 2 4 1 6 0 1 . 0 3 0 3 5 2 4 2 4 1 2 4 3 3 3 1 e 1 2 4 1 0 1 . 2 0 0 4 3 2 1 1 1 f B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 2. Cho 3 ma trận vuông A, B, C cấp n. Điều nào sau đây luôn đúng? a AB C A BC b A B C AB AC c A kB kA B k AB d AB BA B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 3. Cho Phép toán nào sau đây thực hiện được? Và tính kết quả đó. 2 5 1 3 1 6 4 ; 3 0 4 0 2 7 5 A B .a A B .b A B . Tc A B . Td A B B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 4. Tìm x, y nếu Bài 5. Tìm x, y, z, w thỏa 1 3 6 . 5 3 x x y y 1 1 1 1 . 0 1 0 1 x y x y z w z w B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 6. Cho các ma trận A, B như sau a Tính b Tìm ma trận X sao cho 2 1 1 2 1 0 ; 0 1 4 3 2 2 A B 2 3 2 ; 2 ; .T T T TA B AA BB A A B B B. BÀI TẬP 2 TB X BA TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 7. Tìm số thực x, y, z, w biết rằng 6 4 3 1 2 3 x y x x y z w w z w B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 9. Tính Bài 10. Cho . Tính Gợi ý Áp dụng nguyên lý qui nạp. 2003 0 1 . 1 0 1 2 0 1 A .nA B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 1. Nguyên lý cộng Giả sử để làm công việc A có 2 phương pháp - Phương pháp 1 có n cách làm - Phương pháp 2 có m cách làm Khi đó số cách làm công việc A là n+m Ví dụ. An có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn. Để chọn 1 cái áo thì An có mấy cách C. Các nguyên lý đếm TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 2. Nguyên lý nhân Giả sử để làm công việc A cần thực hiện 2 bước - Bước 1 có n cách làm - Bước 2 có m cách làm Khi đó số cách làm công việc A là Ví dụ A B C Có =6 con đường đi từ A đến C Phép đếm TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Ví dụ Cho tập X ={1,2,3,4,5,0} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2 Giải. Gọi số có 3 chữ số là abc TH1 . c=0. Khi đó c có 1 cách chọn a có 5 cách chọn aX\{0} b có 4 cách chọn bX\{a, 0} TH1 có =20 TH2 . c≠0. Khi đó c có 2 cách chọn a có 4 cách chọn aX\{c, 0} b có 4 cách chọn bX\{a, c} TH2 có =32 Vậy có 20+32 =52 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm 3- Nguyên lý Dirichlet k n k n k n k n 1 k n k n k n Nếu có n vật đặt trong k hộp vật là số nguyên dương nhỏ nhất thoả điều kiện hay [x] gọi là hàm sàn trên của x tồn tại 1 hộp chứa ít nhất 5 4 1 5 4 4 5 2 4 5 5 4 0 5 4 , , Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Ví dụ. Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng. Khi đó sẽ có ít nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên - Trong 1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh cùng ngày 3. Nguyên lý chuồng bồ câu Derichlet Gọi là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x. Giả sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng. Khi đó tồn tại ít nhất một chuồng chứa từ bồ câu trở lên. /n k x TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Trong một nhóm có 366 người thì ít nhất có 2 người trùng ngày sinh nhật? Một năm có 365 ngày n=365, k=366 Theo Nguyên lý Dirichlet 366 2 365 tối thiểu có 2 người trùng ngày sinh nhật Giải Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Trong một nhóm có 28 từ tiếng Anh thì ít nhất có 2 từ bắt đầu bằng cùng một chữ cái? 28 28 2 26 26 ít nhất có 2 từ bắt đầu trùng chữ cái Bảng chữ cái tiếng Anh có 26 mẫu tự n=26, k=28 Theo Nguyên lý Dirichlet Giải a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Ví dụ. Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Lấy A là tập hợp con của X gồm 6 phần tử. Khi đó trong A sẽ có hai phần tử có tổng bằng 10. Giải. Ta lập các chuồng như sau {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5} Do A có 6 phần tử nên trong 6 phần tử đó sẽ có 2 phần tử trong 1 chuồng. Suy ra đpcm TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Tính lƣợng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào danh sách lớp A, để chắc chắn có ít nhất 6 SV có cùng một điểm trong thang điểm 5? 6 1 5 5 n n 516 5 n 255*5 n Theo Nguyên lý Dirichlet Vậy tối thiểu có 26 SV ghi tên vào DS lớp Giải 2615*5 n Ví dụ Cách 1 Cách 2 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào danh sách lớp CC02, để chắc chắn có ít nhất 5 SV có cùng một điểm trong thang điểm 10? Bài tập về nhà DẠNG 3 Homework-3 Bài Thời khoá biểu trường xx học từ thứ 2 đến thứ 7. CMR nều trường có 7 lớp thì it nhất có 2 lớp học cùng ngày? Bài TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài tập về nhà DẠNG 3 Homework-3 Bài Mỗi SV trong lớp A đều có quê ở 1 trong 64 tỉnh thành. Trường cần phải tuyển bao nhiêu SV để đảm bảo trong 1 lớp A có ít nhất a/ 2 SV có quê cùng tỉnh b/ 10 SV có quê cùng tỉnh c/ 50 SV có quê cùng tỉnh Lớp có 32 SV, CMR có ít nhất 2 SV có tên bắt đầu cùng 1 chữ cái? Bài TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 CMR trong 5 số chọn từ tập hợp 8 số {1,2,3,4,5,6,7,8} bao giờ cùng có 1 cặp số có tổng bằng 9? CMR trong 6 số bất kỳ chọn từ tập hợp 9 số nguyên dương đầu tiên {1,2,3,4,5,6,7,8,9} bao giờ cũng chứa it nhất 1 cặp số có tổng bằng 10? Bài tập về nhà DẠNG 3 Homework-3 Bài Bài TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 4. Nguyên lý bù trừ. Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi đó A B= A+B - A B A B B A TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm A B A C BC A B C A B C A B C=? TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Ví dụ. Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 HS học Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh. 15 học sinh học Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao nhiêu người Giải. Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp B là những học sinh học Tiếng Anh Khi đó. Số học sinh của lớp là A B . Theo nguyên lý bù trừ ta có A B= A+B - A B=24+26-15=35 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1A 9,7,5,3,1A1 10,8,6,4,2A2 8,5,4,1A3 133221321321321 AAAAAAAAAAAAAAA Ví dụ Cho các tập hợp nhƣ sau Hãy chứng minh 1 2 3 4 5 8 6 7 9 10 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm THỰC HÀNH 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1X 9,7,3,1X1 ,10,6,4,2X2 11,10,7,5X3 321133322211321 XXXXXXXXXXXXXXX .............................XXX 321 ..............?.................X3 ................?................XXX 321 21 XX ................?...............XX 32 ................?................XX 13 ? 1X ..............?.................X2 .. .. .. .. .. .. .. .. .. Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm 1. Hoán vị Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp đặt có thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn Pn = n! = n.n-1.n-21 Quy ước 0! =1 Ví dụ. Cho A ={a,b,c}. Khi đó A có các hoán vị sau abc,acb, bac,bca, cab,cba TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Ví dụ. Cho X ={1,2,3,4,5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập X 5! D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 2. Chỉnh hợp. Định nghĩa. Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k phần tử 1 k n sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n ký hiệu là - Công thức ! ! k n n A n k k nA Ví dụ. Cho X ={abc}. Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của 3 là ab, ba, ac, ca, bc, cb. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 D. Giải tích tổ hợp Ví dụ. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ 1,2,3,4,5,6. Kết quả 3 6A D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 hợp. Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là hay k nC k n ! ! ! k n n C k n k Tính chất n k k n nC C 1 1 k k k n n nC C C D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ. Cho X = {1,2,3,4}. Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của X là {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4} Một lớp có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 bạn - Số cách chọn là tổ hợp chập 10 của 30. 10 30C D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Từ một tập thể gồm 15 nam và 10 nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ gồm 8 ngƣời mỗi trƣờng hợp sau a Không có điều kiện gì thêm. b Tổ có 5 nam và 3 nữ. c Tổ có số nam nhiều hơn nữ. d Tổ có ít nhất một nữ. d Tổ trưởng là nữ. e Tổ có cả nam lẫn nữ. D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Có bao nhiêu byte thỏa điều kiện trong mỗi trƣờng hợp sau a Không có điều kiện gì thêm. b Chứa đúng 3 bit 1. c Chứa ít nhất 3 bit 1. d Có 2 bit 1 và chúng không nằm gần nhau. e Không có ba bít 1 nào gần nhau. D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Sự kiện ngẫu nhiên E. Xác suất MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN PHÉP THỬ SỰ KIỆN KHÔNG GIAN MẪU NGẪU NHIÊN Không gian mẫu hữu hạn Không gian mẫu vô hạn đếm đƣợc Không gian mẫu vô hạn không đếm đƣợc Sự kiện cơ bản Sự kiện chắc chắn Sự kiện không thể Sự kiện A hoặc B Sự kiện đồng thời A và B Sự kiện A mà không B Sự kiện xung khắc Sự kiện đối lập Rời rạc Liên tục TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 13- Sự kiện ngẫu nhiên tt E. Xác suất PHÉP THỬ = Một bộ điều kiện xác định thí nghiệm, quan sát hiện tượng SỰ KIỆN KHÔNG GIAN MẪU SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN = Kết quả của Phép Thử Ký hiệu A, B,C = kết quả không đoán trước tiên đoán được = Sự kiện ngẫu nhiên có thể có của Phép thử ngẫu nhiên Card A = Số phần tử của A TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 13- Sự kiện ngẫu nhiên tt E. Xác suất Tung đồng tiền 1 lần = Phép thử ngẫu nhiên , 0,1Sap Ngua Không gian mẫu Mỗi Sự kiện là 1 điểm của Không gian mẫu Card R = 2 0 và 1 , 0,1Sap Ngua Ví dụ Card R = cặp 0,1 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất Tung đồng tiền 3 lần 0,0,0,0,0,10,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1 Không gian mẫu ? Tung đồng tiền 2 lần 0,0,0,1,1,0,1,1 Không gian mẫu 0,0 0,1 1,0 1,1 ĐỒ THỊ 13- Sự kiện ngẫu nhiên tt Card R = 4 Card R = ? Ví dụ Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất Gieo một con xúc xắc Không gian mẫu 1 2 3 4 5 61,2,3,4,5,6 , , , , ,w w w w w w Gieo 2 con xúc xắc cùng lúc Không gian mẫu ? 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 2,2, 2,3, 2,4, 2,5, 2,6, 3,3, 3,4, 3,5, 3,6, 4,4, ,5, 4,6, 5,5, 5,6, 6,6 13- Sự kiện ngẫu nhiên tt Card R = 6 Card R = ? Ví dụ Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên tt KHÔNG GIAN MẪU = Sự kiện ngẫu nhiên có thể có của Phép thử ngẫu nhiên hữu hạn vô hạn đếm đƣợc vô hạn không đếm đƣợc Card = hữu hạn Card = N Số tự nhiên Card = Không đếm đƣợc Rời rạc Liên tục TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên tt SỰ KIỆN SK ngẫu nhiên = Kết quả của Phép Thử Ký hiệu A, B,C = kết quả không đoán trước tiên đoán được Card A = 1 SK cơ bản Card A = SK chắc chắn Card A = Ø SK không thể ĐẠI SỐ SK các Quan hệ- Phép toán SK SK hoặc A hoặc B HỢP SK đồng thời A và B SK A mà không B SK xung khắc SK đối lập và SK tất yếu Nhóm đđủ các SK phân hoạch BA BA BA BA A A A A ji AA 1 n i A TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên tt A SK có ít nhất 1 mặt sấp S B SK ngửa N ở lần tung thứ 2 C cả 2 lần đều mặt sấp S , , , , , , ,A B S N N S N N S S Tung 1 đồng tiền 2 lần. Giả sử SNBA CB B và C là 2 SK xung khắc SK tất yếu SS,NSBA Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 1/ Định nghĩa cổ điển E. Xác suất Các định nghĩa-khái niệm về xác suất Xác suất của A là tỉ số của số kết quả thích hợp cho A m trên số kết quả đồng khả năng n của phép thử số trường hợp xảy ra A số trường hợp của không gian mẫu n m AP Xác suất của A SK không thể SK tất yếu SK bất kỳ 0 n 0 AP0m 1 n n APnm 1 n n AP0nm0 HỆ QUẢ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất Các định nghĩa xác suất tt Trong một thùng kín chứa 20 quả cầu giống đó có 10 quả màu trắng, 6 màu xanh, còn lại là màu đỏ. Nếu lấy ngẫu nhiên một quả thì xác suất rút đƣợc .......... là bao nhiêu? a/ quả trắng? b/ quả xanh? c/ quả đỏ? d/ quả đen? e/ quả trắng hoặc xanh? f/ quả trắng hoặc xanh hoặc đỏ? Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất Các định nghĩa xác suất tt Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, đƣợc đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10,12 tô màu đỏ; số 2,5,8,11 tô màu xanh; các số còn lại tô màu đen. Tính xác suất để khi ném nó lên thì xuất hiện a/ Mặt màu cam? b/ Mặt màu đỏ hoặc xanh? c/ Mặt màu đỏ hoặc xanh hoặc đen? Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài tập Bài tập về nhà DẠNG 4 Homework-4 Trong một thùng kín chứa 50 viên bi giống đó có 25 viên màu xanh, 15 màu đỏ, còn lại là màu cam. Nếu lấy ngẫu nhiên hai viên cùng lúc thì xác suất rút đƣợc 2 viên bi màu .......... là bao nhiêu? a/ cùng xanh? b/ xanh và cam? c/ cam và đỏ? d/ khác màu? TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài tập a/ 2 mặt màu trắng? b/ 2 mặt cùng màu nâu hoặc vàng? c/ ít nhất có 1 mặt màu vàng hoặc trắng? d/ 2 mặt có tổng bằng 10? e/ 2 mặt có hiệu bằng 8? f/ 2 mặt có màu khác nhau? Bài tập về nhà DẠNG 4 Homework-4 Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, đƣợc đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10 tô màu vàng; số 2,5,6,9,12 tô màu nâu; các số còn lại tô màu trắng. Tính xác suất để khi ném một lần hai hộp đồng thời lên thì xuất hiện TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài tập Bài tập về nhà DẠNG 4 Homework-4 Gieo 3 hột xí ngầu số 1 và 4 sơn màu đỏ còn lại sơn màu đen cùng lúc. Tính số trƣờng hợp có thể xảy ra khi xuất hiện a/ 3 mặt có số giống nhau b/ 3 mặt có số khác nhau c/ 2 mặt có màu đỏ d/ 2 mặt có màu đen e/ Tổng giá trị 3 mặt là 12 f/ Tổng giá trị 3 mặt là 9 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Định nghĩa Nhóm các biến cố của một phép thử được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 tính chất Hệ đầy đủ các biến cố 1 2 3, , ,..., nA A A A 1 2 3 ... nA A A A i jA A E. Xác suất Ví dụ Trong phép thử tung đồng xu, ta đặt biến cố A1= “xuất hiện mặt sấp” A2= “xuất hiện mặt ngửa” PA1=PA2=0,5 khi đó {A1, A2} là hệ đầy đủ các biến cố TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Giải = “xạ thủ thứ i không bắn trúng thú” a A= A1A2A3 ít nhất 1 viên trúng b B= cả ba xạ thủ đều bắn trượt Ví dụ Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một con thú. Gọi biến cố Ai=“xạ thủ thứ i bắn trúng thú”, i=1, 2, 3. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua Ai a A= “thú bị trúng đạn” b B= “thú không bị trúng đạn” c C=“thú bị trúng 3 viên đạn” d D= “thú bị trúng 1 viên đạn” 1 2 3 1 2 3A A A A A A A iA E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 c C= A1A2A3 cả 3 xạ thủ đều cùng bắn trúng thú 1 2 3 1 2 3 1 2 3 d D A A A A A A A A A E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ 1 Một hộp đựng bi gồm có 12 viên bi trắng và 8 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi trong hộp. a. Xác suất lấy được 1 bi trắng b. Xác suất lấy được 1 bi xanh 12 20 P T 8 20 P X E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ 2 Một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó. Tính xác suất lấy được a 2 quả cầu màu trắng b 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen. Giải a A= “lấy được 2 quả cầu trắng” b B= “lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen” 2 3 2 8 3 28 C P A C 1 1 3 5 2 8 . 15 28 C C P B C E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Các tính chất cơ bản của xác suất Giả sử A là một biến cố . Khi đó 1 và 2 Nếu thì 3 Tính cộng tính a. nếu A và B là 2 biến cố xung khắc PA B= PA + PB b. nếu A và B là 2 biến cố ngẫu nhiên bất kỳ PAB= PA + PB – PAB 0 1P A 1 P A P A A B P A P B E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Giải. Đặt A= “lấy được ít nhất 1 bi đỏ”. Khi đó = “lấy được 3 bi xanh” Ví dụ 1 Một hộp có 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 bi đỏ. A 3 6 3 10 1 1 0,8333 P A P A C C E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ 2 Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi Toán, 50 sinh viên giỏi Văn, 20 sinh viên giỏi cả Toán lẫn Văn. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Tính xác suất để sinh viên đó giỏi ít nhất 1 trong 2 môn. 40 50 20 7 100 100 100 10 P T V P T P V P T V E. Xác suất Giải. Đặt T=“sinh viên được chọn giỏi Toán” V=“sinh viên được chọn giỏi Văn” Khi đó TV=“sinh viên được chọn giỏi ít nhất 1 trong 2 môn” TV=“sinh viên được chọn giỏi cả 2 môn” TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ 3 Một hộp chứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng kích thước. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tính xác suất để a Cả 3 cầu cùng màu A b Có đúng 2 cầu cùng màu B c Có ít nhất 2 cầu cùng màu C d Cả 3 cầu khác màu nhau D E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Giải a Đặt At= “3 cầu rút được màu trắng” Ađ= “3 cầu rút được màu đỏ” Ax= “3 cầu rút được màu xanh” Do chỉ rút 1 lần 3 cầu nên A= At Ađ Ax Do At, Ađ, Ax xung khắc nên PA= PAt + PAđ + PAx 3 3 3 5 4 3 3 12 3 44 C C C C E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 b Bt= trong 3 cầu rút được có 2 cầu trắng Bđ= trong 3 cầu rút được có 2 cầu đen Bx= trong 3 cầu rút được có 2 cầu xanh PB= PBt+ PBđ+ PBx 2 1 2 1 2 1 5 7 4 8 3 9 3 12 . . . 29 44 C C C C C C C E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 c PC= PB + PA 3 29 32 44 44 44 P D 1 P C d D C 32 12 1 44 44 E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ Phương trình đại số tuyến tính •Dạng ma trận của hệ phương trình ĐSTT. •Phép toán sơ cấp biến đổi dòng của ma trận. •Phương pháp Gauss – Jordan. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Hệ Phương trình ĐSTT gồm m phương trình và n ẩn số có dạng 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b Hệ Pt ĐSTT trên có thể viết lại dưới dạng ma trận AX B TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Trong đó 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a 1 2 n x x X x 1 2 m b b B b A được gọi là ma trận hệ số. X là ma trận ẩn số. B ma trận hằng số TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Ngoài ra ta có ma trận hệ số nới rộng 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ... ... ... n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 1 Cho hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 2 3 4 7 2 5 3 x x x x x x Dạng ma trận AX=B trong đó 2 3 4 1 2 5 A 1 2 3 x X x x 7 3 B Ma trận hệ số nới rộng 2 3 4 7 1 2 5 3 A TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 2 Cho ma trận hệ số nới rộng 1 0 1 2 1 0 1 0 3 0 A Hệ phương trình ĐSTT tương ứng với ma trận hệ số nới rộng trên là 1 3 4 2 4 2 1 3 0 x x x x x TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận – e1 Hoán vị hai dòng cho nhau i k d dA A . – e2 Nhân 1 dòng với số 0 , i i d dA A . – e3 Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần dòng khác i i k d d dA A . Chú ý 1 Trong thực hành ta thường làm i i kd d dA B . 2 Sau 1 số hữu hạn các PBĐSC dòng ta được ma trận B tương đương với A, ký hiệu B A. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 16. Cho hai ma trận 2 1 1 1 2 3 3 1 2 A và 1 2 3 0 1 7 / 5 0 0 0 B . Chứng tỏ A B . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải 1 2 2 2 1 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 0 5 7 3 1 2 0 5 7 d d d d d d d d A 3 3 2 2 2 1 5 1 2 3 0 1 7 / 5 0 0 0 d d d d d A B . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Ma trận dạng bậc thang chính tắc 1. Nếu một hàng có một số khác không thì số khác không bên trái nhất bằng 1, được gọi là phần tử chính. 2. Những hàng gồm toàn những phần tử 0 nằm ở dưới cùng. 3. Nếu hai hàng kề nhau có phần tử chính thì phần tử chính của hàng trên nằm bên trái phần tử chính hàng dưới. 4. Mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác đều bằng không. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Ma trận dạng bậc thang 1. Ma trận bậc thang có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0. 2. Trên hai dòng khác không, phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác không đầu tiên của dòng trên. Dòng 0 là dòng gồm tất cả các phần tử bằng 0. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 18. 1 0 2 0 0 3 0 0 0 A , 0 1 2 3 0 0 4 5 0 0 0 1 B , In là các ma trận bậc thang; 0 2 7 0 3 4 0 0 5 C , 2 3 5 0 0 0 0 1 3 D không phải là các ma trận bậc thang. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính • Phƣơng pháp Gauss – Jordan giải hệ PT ĐSTT Gồm 3 bước Bước 1 Thiết lập ma trận hệ số mở rộng Bước 2 Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang chính tắc. Bước 3 Biện luận nghiệm. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 1 Giải hệ PT ĐSTT sau íï + + = -ïïïï - + =ì ïïï - - =ïïî 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 10 18 3 2 3 6 25 x x x x x x x x x Bước 1 Thiết lập ma trận hệ số mở rộng é ù-ê ú ê ú = -ê ú ê ú ê ú- -ê úë û % 4 10 18 1 1 3 2 3 6 1 25 2 A Bước 2 Tiến hành thuật toán Gauss - Jordan é ù-ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú- -ê úë û 2 5 9 1 3 2 6 1 25 1 1 3 ¾ ¾ ¾1 / 2d TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính é ù-ê ú ê ú - -ê ú ê ú ê ú- -ê úë û 2 5 9 3 2 11 12 16 2 1 5 0 0 - - ¾ ¾ ¾ ¾2 3 1 1 3d d d d é ù-ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú-ê úë û - 5 9 2/ 3 11/ 2 12 3 16 2 1 0 10 5 - ¾ ¾ ¾ ¾2 / 3d é ù-ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú ê úë û - 11/ 3 5/ 3 2/ 3 1 8 1 0 0 1 0 0 1/ 3 8 - + ¾ ¾ ¾ ¾¾1 3 2 22 12d d d d - ¾ ¾ ¾ ¾3 / 8d é ù-ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú-ê úë û 5/ 3 11 11/ 3 2/ 1 0 0 1 0 0 1 / 3 1 3 - - ¾ ¾ ¾ ¾ ¾1 2 3 311 / 3 2 / 3dd d d é ù ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú-ê úë û 1 0 0 0 1 0 0 10 1 2 3 Bước 3 Hệ có nghiệm duy nhất íï =ïïïï = -ì ïïï = -ïïî 1 2 3 2 3 1 x x x TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính • Phƣơng pháp Gauss giải hệ PT ĐSTT Gồm 3 bước Bước 1 Thiết lập ma trận hệ số mở rộng. Bước 2 Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang. Bước 3 Giải ngược từ dưới lên trên tìm nghiệm hệ PT. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 2 Giải hệ PT ĐSTT sau íï + + = -ïïïï - + =ì ïïï - - =ïïî 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 5 9 3 2 3 6 25 x x x x x x x x x Bước 1 Thiết lập ma trận hệ số mở rộng é ù-ê ú ê ú = -ê ú ê ú ê ú- -ê úë û % 2 5 9 1 1 3 2 3 6 1 25 1 A Bước 2 Tiến hành thuật toán Gauss é ù-ê ú ê ú - -ê ú ê ú ê ú- -ê úë û 2 5 9 3 2 11 12 16 2 1 5 0 0 - - ¾ ¾ ¾ ¾2 3 1 1 3d d d d TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính é ù-ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú-ê úë û - 5 9 2 11 8 1 8 2 0 3 0 0 - ¾ ¾ ¾ ¾ 3 24d d Bước 3 Hệ có nghiệm duy nhất íï =ïïïï = -ì ïïï = -ïïî 1 2 3 2 3 1 x x x TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z . Giải 3 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 3 3 0 1 3 3 2 1 1 1 0 0 2 2 d d d A B . Hệ 2 1 3 3 3 6 2 2 1 x y z x y z y z z . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 8. Giải hệ phương trình 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 5 2 4 2 12 6 18 5 5 3 18 8 23 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x . Giải. 1 6 2 5 2 4 2 12 6 18 5 5 3 18 8 23 6 2 A B 2 2 1 3 3 1 2 3 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 2 8 0 10 d d d d d d TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính 3 3 2 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 0 0 1 7 d d d . 1 2 3 4 5 4 6 3 5 4 , 7. x x x x x TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 9. Giải hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 2 5 3 3 4 3 2 1 2 7 = 1 x x x x x x x x x x x . Giải. 2 2 1 3 3 1 5 4 5 2 5 2 5 3 3 0 13 5 2 7 0 39 15 6 11 d d d d d d A B 3 3 2 3 5 2 5 3 3 0 13 5 2 7 0 0 0 100 d d d . Vậy hệ phương trình vô nghiệm. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 10. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính x 4 5 1 2 7 11 2 3 11 6 1 y z x y z x y z . A. 15 4 0 x y z ; B. Hệ có vô số nghiệm; C. 15 79 4 21 x y z ; D. 15 79 4 21 x y z . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải. 2 2 1 3 3 1 2 3 1 4 5 1 0 1 21 4 0 1 21 4 d d d d d d A B . Hệ 15 79 4 5 1 4 21 21 4 x x y z y D y z z . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 23. Công ty X có 3 cửa hàng I, II, III cùng bán 4 mặt hàng tivi, tủ lạnh, máy giặt, máy lạnh với giá bán tương ứng triệu đồng / chiếc cho bởi ma trận 3 5 4,5 6,7A . Một số ứng dụng của ma trận trong kinh tế VD 22. Một khách hàng mua tại siêu thị X lượng gạo, thịt, rau đơn vị kg cho bởi ma trận 12; 2; 3A với giá tương ứng ngàn đồng / kg cho bởi 9; 62; 5B . Khi đó, 12 2 3 9 62 5 247 TTAB . Vậy số tiền khách hàng phải trả là đồng. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Lượng hàng bán được trong ngày của 3 cửa hàng tương ứng 3 dòng của ma trận 2 1 4 5 0 2 6 1 5 2 0 2 B . Hãy cho biết ý nghĩa các phần tử của tích TBA ? Giải. 3 2 1 4 5 62,5 5 0 2 6 1 43,7 4,5 5 2 0 2 38,4 6,7 TBA . Vậy số tiền cửa hàng I, II, III bán được trong ngày lần lượt là 62,5; 43,7; 38,4 triệu đồng. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Chỉ số giá Laspeyres và Paasche VD 24. Giả sử bán ngàn đồng / kg của gạo, đường và bột mì vào các ngày 1/1 và 1/6 lần lượt cho bởi 2 cột của ma trận 10 11 20 19 30 32 P . Một người A trong hai ngày đó đã mua vào lượng hàng tương ứng cho bởi 2 cột của ma trận 4 3 2 3 3 4 Q . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Khi đó, ta có 10 11 4 2 3 170 178 20 19 3 3 4 210 218 30 32 TV Q P . Từ ma trận V, ta suy ra + 11 170v tiền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/1. + 12 178v tiền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/6. + 21 210v tiền mua hàng 1/6 theo giá ngày 1/1. + 22 218v tiền mua hàng 1/6 theo giá ngày 1/6. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính 1 Nếu lấy ngày 1/1 làm cơ sở thì 11v , 12v lần lượt là giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ sở tính tại ngày cơ sở và ngày 1/6. Khi đó 12 11 1,047 v v được gọi là chỉ số Laspeyres. 2 Nếu lấy ngày 1/6 làm cơ sở thì 21v , 22v lần lượt là giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ sở tính tại ngày 1/1 và ngày cơ sở. Khi đó 22 21 1,038 v v được gọi là chỉ số Paasche. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Bài tập 1. Tính AB - BA 1 2 2 3 . , 4 1 4 1 a A B 2 3 1 1 2 1 . 1 1 0 , 0 1 2 1 2 1 3 1 1 b A B 1 1 1 7 5 13 . 0 1 1 , 0 7 5 0 0 1 0 0 7 c A B TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Bài tập 2. Giải hệ bằng PP Gauss - Jordan 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 10 . 3 2 2 1 5 4 3 4 x x x a x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 7 . 2 2 4 17 3 2 2 14 x x x b x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 . 2 5 4 5 3 4 2 12 x x x c x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 . 5 2 6 5 3 4 7 x x x d x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 8 . 3 2 4 15 5 4 1 x x x e x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 . 2 5 8 4 3 8 13 7 x x x f x x x x x x TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1 MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Bài tập 3. Giải các hệ sau 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 5 7 9 1 . 2 3 4 5 2 2 11 12 25 22 4 x x x x x a x x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 14 3 2 10 . 6 2 3 5 3 x x x x x x b x x x x x x x x Các file đính kèm theo tài liệu này
Nội dung Text Bài giảng Chương 1 Mô hình Toán kinh tế Chương 1 Mô hình toán kinh tế 1. Khái niệm về mô hình toán kinh tế 2. Cấu trúc mô hình toán kinh tế 3. Phân tích mô hình toán kinh tế 4. Áp dụng đối với một số mô hình kinh tế phổ biến Tài liệu tham khảo Mô hình toán kinh tế; ĐHKTQD Hà nội-Nguyễn Quang Dong B2 1 1. Khái niệm về mô hình toán kinh tế Mô hình của một đối tượng là sự phản ánh khách quan về đối tượng đó, bằng ngôn ngữ nói, viết, hình vẽ, hoặc ngôn ngữ chuyên ngành. Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực kinh tế, gọi là mô hình kinh tế. Mô hình toán kinh tế, là mô hình kinh tế, được trình bày bằng ngôn ngữ toán học. 2 TD1 Nghiên cứu quá trình hình thành giá của loại hàng hóa A trên thị trường. Mô hình bằng lời Xét thị trường hàng hóa A, nơi có người bán, người mua gặp nhau. Với mức giá p, lượng hàng người bán muốn bán gọi là lượng hàng cung S, lượng hàng người mua muốn mua gọi là lượng hàng cầu D. Khi cung lớn hơn cầu thì giá sẽ có xu hướng giảm, Khi cầu lớn hơn cung thì giá sẽ có xu hướng tăng. Quá trình tiếp diễn như vậy, cho đến khi cung băng cầu, sẽ hình thành mức giá p , gọi là mức giá cân bằng. 3 Mô hình bằng hình bằng hình vẽ Trong hệ trục tọa độ vuông góc p0q, ta vẽ đường cầu D, đường cung S, điểm hai đường cong gặp nhau là điểm cân bằng Q D S q0 op p 4 Mô hình toán kinh tế Với mỗi mức giá p, khối lương hàng cung là S=Sp; khối lượng hàng cầu D=Dp. Do người bán sẵn sàng bán giá cao hơn nên S’p>0, do người mua muốn mua giá thấp hơn nên D’p0 D=Dp D’pKhi muốn đề cập đến thu nhập M, và mức thuế T vào quá trình hình thành giá ta có mô hình toán kinh tế MHIB S=Sp,M,T S’p= dS/dp >0 D=p,M,T D’p= dD/dp 2. Cấu trúc mô hình toán kinh tế Các biến số, tham số trong mô hình Mối liên hệ giữa các biến số trong mô hình 7 Các biến số của mô hình Mỗi yếu tố kinh tế được lượng hóa bằng một đại lượng x,y,z.. gọi là một biến số. Biến nội sinh biến được giải thích. Là các biến thể hiện các hiện tượng kinh tế, mà giá trị của chúng phụ thuộc vào các biến khác trong mô hình. Biến ngoại sinh biến giải thích. Là các biến độc lập với các biến khác, và giá trị của chúng được xem là tồn tại ngoài mô hình. 8 Thí dụ Một doanh nghiệp muốn sản xuất một khối lượng hàng hóa loại A là Q, thì cần có n yếu tố đầu vào x1,x2,..,xn. Các yếu tố kinh tế này liên hệ với nhau bởi quan hệ hàm Q = fx1,x2,..,xn,α,β. Khi đó ta có mô hình hàm sản xuất của doanh nghiệp Q = fx1,x2,..,xn,α,β xi o i Trong mô hình này Q là biến nội sinh, xi là biến ngoại sinh α, β là các tham số Trong mô hình MHIB của loại hàng hóa A, nếu S = αpβTγ Khi đó các biến S,D,p là các biến nội sinh; T,M là biến ngoại sinh; α, β, γ là các tham số. 9 Mối liên hệ giữa các biến Để mô tả các mối quan hệ kinh tế, các quy luật kinh tế trong các mô hình toán kinh tế người ta thường dùng các phương trình hoặc bất phương trình. Phương trình định nghĩa thể hiện quan hệ định nghĩa giữa các biến. Phương trình hành vi mô tả quan hệ giữa các biến do tác động của các quy luật kinh tế, hoặc do giả thiết. Phương trình điều kiện mô tả quan hệ giữa các biến trong tình huống có điều kiện. 10 Thí dụ PT định nghĩa = TR-TC lợi nhuận=doanh thu- chi phí; NX=EX-IM Xuất khẩu ròng=xuất khẩu- nhập khẩu PT hành vi Trong mô hình MHIA S = Sp; D=Dp; S=D Phương trình điều kiên Trong mô hình hàm sản xuất bất phương trình xi0 là bất phương trình điều kiện. 11 3. Phân tích mô hình toán kinh tế Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo biến ngoại sinh Hệ số tăng trưởng nhịp tăng trưởng Hệ số thay đổi bổ sung, chuyển đổi 12 Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo biến ngoại sinh a Sự thay đổi tuyệt đối Xét quan hệ kinh tế y = fx1,x2,..xn tại x=x1,x2,..,xn. Cho xi thay đổi một lượng nhỏ xi, khi đó y thay đổi một lượng tương ứng là y = fx1,x2,..,xi+xi,..,xn - fx1,x2,..,xn. Lượng thay đổi trung bình của y theo xi là y xi x i Nếu f khả vi theo biến xi ta gọi xu hướng thay đổi của biến nội sinh y theo biến ngoại sinh xi tại x, là biên tế của y theo xi, kí hiệu Myxi f My x i x i x i 13 Nếu tất cả các biến ngoại sinh xi đều thay đổi một lượng nhỏ xi thì độ thay đổi của y là n f y dy dx i i 1 x i Nếu xi là biến nội sinh phụ thộc vào một biến khác, thì ta sử dụng công thức tính vi phân của hàm hợp. TD Chi phí CQ phụ thuộc vào sản lượng Q và có mô hình chi phí sản xuât của doanh nghiệp là CQ = Chi phí biên tế của theo Q chi phí cận biên, kí hiệu MCQ = 3Q2-122,5Q+ 14 b Sự thay đổi tương đối Ta gọi hệ số co giãn của biến y theo biến xi tại điểm x là y y x i x i x i y Hệ số này cho biết tại x khi xi thay đổi 1% thì y y thay đổixi %. y Nếu xi >0 thì xi và y biến thiên cùng chiều y Nếu xi Nếu gọi Mfi = là hàm cận biên của y theo xi; Afi=y/xi là hàm trung bình của y theo xi. khi đó ta có yxi = Mfi/Afi Nếu y=uxvx yx=ux+ vx y=u/v yx=ux-vx TD Khi mô hình sản xuất có dạng Q = aKαLβ, với α>0 β>0, Q là mức sản lượng, K là vốn, L là khối lượng lao động. q L = β; = α; q = α+β 16 Hệ số tăng trưởng nhịp tăng trưởng Khi trong mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian t, giả sử y = fx1,x2,..,xn,t, khi đó ta dùng hệ số tăng trưởng để đo sự thay đổi của biến nội sinh theo thời gian t. y / t Hệ số tăng trưởng của y là ry , thường ry y được theo theo tỷ lệ % TD Theo công thức tính lã gộp liên tục tại thời điểm ta có vt=v0ert có hệ số tăng trưởng rv=r Nếu lãi suất tính theo từng kỳ thì vt=v01+rt có hệ số tăng trưởng rv=ln1+rr 17 Cho u = gt; v = ht Nếu y = uv ry = ru + rv Nếu y = u/v ry = ru – rv u v Nếu y = u + v ry = ru rv uv uv u v Nếu y = u - v ry = ru rv uv uv n Cho y = f[x1t,x2t,..,xnt] ry = xyi rxi i 1 18 Hệ số bổ sung, chuyển đổi Cho y = fx1,x2,..,xn, nếu cho 2 biến ngoại sinh xi, xj thay đổi và cố định các biến khác sao cho y không đổi. Từ biểu thức vi phân của hàm y n y y y dy dx i 0 dx i dx j i 1 x i x i x j dx i f / x j dx j f / x i Hệ số này cho biết khi gia giảm xj một đơn vị, thì phải gia giảm xi bao nhiêu đơn vị để y không thay đổi. 19 Nếu dxi/dxj0 thì ta nói xi xj có thể bổ sung được cho nhau với tỷ lệ dxi/dxj, và gọi là hệ số bổ sung cận biên của xi cho xj Nếu dxi/dxj=0 thì ta nói xi, xj không thay thế được cho nhau hoặc không bổ sung được cho nhau. 20
các bạn tự tìm sách trên google theo gợi ý bên dưới nhé! bai tap quy hoach tuyen bài tập mô hình phân biệt 1 số loại hàng tl đọc thêm về quy hoạch tuyến tl đọc thêm về quy hoạch tuyến đề cương toán kinh tế 3tc.pdf 62 976 980 đề 1 toán kinh tế kì 1 năm đề 4 toàn kinh tế kì 1 năm đề kiểm tra giữa kỳ toán kinh tế - k55 - đề thi toán kinh tế - k55 - 2018-2019_kỳ 1_đề 2018-2019_kỳ 1_đề 2018-2019_kỳ 2_đề 2018-2019_kỳ 2_đề 2018-2019_kỳ 2_đề 2018-2019_kỳ 2_đề các bạn tự tìm sách trên google theo gợi ý bên dưới nhé! Giáo Trình Mô Hình Toán Kinh Toán Kinh Tế
bài giảng toán kinh tế
